Come mai un’equazione di grado dispari ha sempre almeno una soluzione reale?
Giustificare brevemente.
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ipotizzo l’equazione con un polinomio di grado n (diverso da 1) il quale lo posso scomporre in polinomi di grado 1 oppure 2 oppure entrambi e quelli di grado due avranno delta negativo (altrimenti sarebbero ulteriormente scomponibili); se per i numeri complessi ogni polinomio di grado n ammette n radici complesse un polinomio di grado 2 avente delta minore di 0 ha esattamente 2 radici conuigate
se n è dispari il polinomio sarà scomponibile in altri polinomi di secondo grado(che danno soluzioni coniugate o reali ma sempre due) e un polinomio di primo grado. Ma se c’è un polinomio di primo grado quest’ultimo avrà una soluzione reale quindi il polinomio di grado n con n dispari ammette almeno una soluzione reale.
Scusa Chiara, ma non capisco la tua spiegazione.
Devi dimostrare che l’equazione a x^3 + b x^2 + c x + d = 0
ammette certamente almeno una soluzione reale.
A me pare che una dimostrazione semplice sia la seguente.
Se a > 0 il polinomio P(x) al primo membro assumerà certamente valori negativi per x = x1 abbastanza grande e negativo. Assumerà invece certamente valori positivi da un certo valore di x = x2 abbastanza grande e positivo.
La funzione y = P(x) è continua, quindi nell’intervallo x1 < x < x2 vi sarà almeno un valore di x per cui P(x) si annulla.
Semplicemente perchè qualsiasi polinomio P(x) di grado dispari a codominio di estremi -inf e +inf