Dato che
D [ f( x ) ]^n = n [ f( x ) ]^(n-1) * f’( x )
e
D log [ f( x ) ] = [f’( x ) ] / [f( x ) ],
esistono due categorie di integrali immediati, che è utile tenere presenti:
1) [ f( x ) ]^n * f’( x ) il cui integrale vale { [ f( x ) ]^(n+1) } / (n+1) + C
2) [ f’( x ) ] / f( x ) il cui integrale vale log [ f( x ) ] + C
Nota: non sempre è facile riconoscere che un integrale è del tipo 1) o 2) …
Gli esempi che seguono servono ad esercitarsi (inutile raccomandare di non leggere le risposte, prima di averle trovate in modo autonomo …)
Integrale di 1 / [ x + log(x) ]
= log[ log(x) ] + C
Integrale di { sqrt[ log( x ) ] } / x
= (2/3) [ log( x ) ]^(3/2) + C
Integrale di { e^[tan(x) ] } / [ cos( x ) ]^2
= e^[tan(x)] + C
Integrale di sen( x ) * [ x cos( x ) – sen( x ) ] / x^3
= [ sen( x ) ]^2 / (2 x^2 )+ C
Integrale di cos( x ) / [ 1 + sen( x ) ]
= log{ [ 1 + sen( x ) ] } + C
Ciao Dario,
voglio segnalarti una mia defaillance..
non riesco infatti a risolvere il primo integrale;
Ho provato a risolverlo per parti, per sostituzione, per scomposizione e anche componendo vari metodi come questi ma non ne vengo a capo.
Ho saputo invece risolvere gli altri integrali.
Potresti aiutarmi a capire dove sbaglio?
Risolverlo per parti mi sembra una follia, anche se ci ho provato..
Il metodo a cui do più credito è quello per sostituzione:
logx=t
x=e^t
Ottenendo
S (e^t)/(t+e^t) dt
Da questo non riesco ad uscirmene pur avendo provato vari modi.
Caro Nicolò, se fosssi ricco, ti manderei un premio. Ero molto sorpreso, perché sapevo che il primo integrale era banale e perché so che sei in gamba. Per sicurezza ho controllato il banalissimo integrale ed ho scoperto che una moltiplicazione è diventata un’addizione. L’integrando non è
1 / [ x + log(x) ], ma
1 / [ x * log(x) ].
Ora non credo che avrai alcuna difficoltà.
Grazie ancora.
Grazie Dario, gentilissimo 🙂
Ora l’integrale non oppone più alcun tipo di ostacolo,
Grazie come sempre per il tempo che dedichi a questo blog e a noi ragazzi 🙂