Algebra 05 (Quesito Aperto)

Ho costruito questa equazione insolita
2 n^n -n^4 + n^3 = 0
in modo che essa sia risolta da un determinato n INTERO. Un mio giovane e brillante allievo mi assicura che di siffatti numeri interi ne esistono due …. Buon lavoro!

6 risposte a Algebra 05 (Quesito Aperto)

  1. Nicolò scrive:

    Le soluzioni dell’equazione sono 0 e 2.
    Infatti in qualsiasi modo si scompone il polinomio, otteniamo:
    (riporto solo due possibili scomposizioni)

    n(2*n^(n-1)-n^3+n^2) = 0
    n(2*n^(n-3)-n+1)^3 = 0

    da cui n=0 ed n=2

    Dato che in questo momento non posso utilizzare carta e penna essendo in viaggio, attendo una risposta più “matematicamente rigorosa” per la risoluzione del fattore tra parentesi 🙂

  2. Dario scrive:

    Ciao Nicolò. Grazie per la tua risposta.
    La soluzione n = 2 evidentemente va bene.
    Invece per n = 0 l’equazione perde significato (0^0 è indeterminata).
    Resta quindi da determinare la seconda soluzione e sarebbe anche bello dimostrare che non ve ne sono altre.
    Ti farà sorridere la circostanza che anch’io ho scritto l’equazione in occasione di un viaggio ed ho usato anch’io la tua seconda scomposizione, per ragionare sulla equazione (dove l’elevazione alla terza riguarda il solo fattore n – devi aver copiato male dai tuoi appunti).
    Aspetterei qualche giorno per fornire la soluzione mancante e la dimostrazione che le soluzioni sono solamente due.

  3. Nicolò scrive:

    Ciao Dario, vorrei provare ancora una volta a cimentarmi in questa questione.
    Come detto precedentemente, scomponendo l’equazione in questa maniera otteniamo:
    n^3(2*n^(n-3)-n+1) = 0

    Ragionando sull’equazione tra parentesi, otteniamo
    2n^(n-3) – n = -1

    perciò
    n-2n^(n-3)=1

    Deve essere dunque
    n > 2n^(n-3)
    cioè
    (2n^n)/n^3 < n

    moltiplicando entrambi i membri per n^3:
    2n^n < n^4

    Da cui (andremo poi ad unire le soluzioni)
    1) 2 < n^4
    2) n^n = 2
    Per la seconda equazione, essendo la base uguale, ragioniamo sugli esponenti, deve essere:
    n < 4

    Le soluzioni dell'equazione per numeri interi, sono dunque 2 <= n < 4,
    cioè n=2 e n=3.

  4. Nicolò scrive:

    Per l’ultima parte ho saltato qualcosa, la riscrivo:

    Da cui (andremo poi ad unire le soluzioni)
    1) 2 < n^4
    2) n^n =2
    Per la seconda disequazione, essendo la base uguale, ragioniamo sugli esponenti, deve essere:
    n < 4
    Le soluzioni dell'equazione originaria per numeri interi, sono dunque nell'intervallo 2 =< n < 4,
    cioè n=2 e n=3.

  5. Dario scrive:

    Si cercano le soluzioni intere positive dell’equazione
    f(n) = 2 n^n – n^4 + n^3
    (n = 0 è escluso perché renderebbe indeterminata la funzione n^n)
    Dei primi interi 1, 2 e 3 si può verificare direttamente che, mentre n = 1 non è soluzione, n = 2 ed n = 3 lo sono.
    A questo punto si può osservare che la derivata di f(n) rispetto ad n vale
    d f / d n = 2 n^n [ 1 + ln(n) ] – 4 n^3 + 3 n^2
    Ma ln(3) > 1, quindi
    d f / d n > 4 n^n – 4 n^3 + 3 n^2 > 4 n^3 [ n^(n-3) – 1 ] > n^(n-3) – 1
    E’ allora evidente che da n = 3 in poi d f / d n è sempre positiva. Ne consegue che f(n) non potrà avere altri zeri oltre quelli in n = 2 ed n = 3.

    Messaggio per Nicolò.
    Ciao Nicolò.
    Sono d’accordo (lo si vede direttamente guardando la disequazione nella forma iniziale) che 2n^n < n^4. Non mi risulta invece molto chiaro il discorso successivo. Se vuoi chiarire meglio, la tua conclusione può essere interessante.

  6. mateschio scrive:

    Più banalmente voglio osservare che cercando soluzioni intere
    Solo andando per tentativi si scarta giustamente lo zero ; si verifica che 1 non soddisfa perché compare 2 -1 +1 = 0 ;
    Mentre sia 2 che 3 soddisfano l’equazione .

    Per dedurre che non esistono altre soluzioni intere basta osservare che una soluzione sarà possibile solo fintanto che la differenza fra i primi due termini risulta negativa. ovvero fintanto che 2n elevato alla n sarà inferiore a n elevato alla quarta Per i primi 4 numeri interi ( da 1 a 4 ) n alla quarta vale 1 , 16 , 81 , 256 mentre 2 per n elevato alla n vale
    per 1 2 3 4 rispettivamente 2 , 8 , 54 , 512 .
    Come si vede già con n pari a 4 il primo termine supera il secondo.

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