Coerenza dimensionale per… chitarra

Per chi ha letto l’articolo “Come “Inventare formule” (Metodo della Coerenza Dimensionale)”, non dovrebbe risultare difficile ricavare la velocità di un’onda in una corda di determinate caratteristiche, tesa agli estremi.

Si può immaginare che v dipenda dalla forza F, con cui è tesa la corda, dalla sua densità d, dall’area s della sua sezione ….

Qualcuno vuol provare a cercare una relazione della solita forma v = k F^x d^y s^z ?

19 risposte a Coerenza dimensionale per… chitarra

  1. chiara scrive:

    io non sono molto brava, però ci provo, secondo me posso calcolarla così:
    v=k*sqrt(f*d^-1*s^-1)
    io ho provato a fare l’analisi dimensionale, la forza è in N quindi in kgm/s^2, la densità in kg/m^3 e la sezione in m^2, alla fine delle semplificazioni mi restava m^2/s^2, ecco perchè ho messo la radice…

  2. Dario scrive:

    E invece sì che sei molto brava e ora sei pronta per fare qualche figurone.

    Ti farà piacere sapere che il Metodo Dimensionale, che a volte dà l’idea di produrre risultati miracolosi dal nulla, interessò molto anche Albert Einstein.

    Il risultato è proprio quello indicato da Chiara.

    Lo trascrivo come segue:

    v = k sqrt[ F / ( d * s ) ].

    Spesso, a parte k, che risulta valere 1, se si usano unità del Sistema S I, viene indicato con

    v = k sqrt[ F / mu ],

    dove mu è la densità lineica, ovvero il rapporto tra la massa della corda e la sua lunghezza
    ( m = d * Volume = d * s * L, da cui d * s = m / L = mu ).

    Che l’efficienza del metodo sia a volte davvero sorprendente può essere compreso bene proprio da questo esempio. Chi infatti a buon senso, anche molto esercitato, come può essere quello di un fisico, immaginerebbe, senza fare conti, che la velocità dell’onda è proporzionale alla radice quadrata della tensione della corda ed inversamente proporzionale alla radice quadrata della densità lineica (massa per unità di lunghezza)?

    Riporto esplicitamente i passaggi, per comodità di chi ne fosse interessato.

    v = k F^x d^y s^z

    L T^(-1) = [ M L T^(-2) ]^x * [ M L^(-3) ]^y * [ l^2 ]^z

    1 = x – 3 y + 2 z
    -1 = – 2 x
    0 = x + y

    Risolvendo il sistema precedente, si ottiene
    x = 1/2, y = – 1/2, z = – 1/2,
    da cui l’asserto.

  3. chiara scrive:

    solo perchè l’ho risolta correttamente non significa che sono molto brava diaciamo che ho avuto fortuna! comunque grazie =)

  4. chiara scrive:

    comunque da quanto ho capito Dario te sei bravo… hai partecipato alle Olimpiadi di Matematica?

  5. Dario scrive:

    Ciao Chiara, brava e modesta. La fortuna non c’entra. Hai letto e capito la spiegazione. La sai utilizzare correttamente. Cosa si può chiedere di più?…
    Purtroppo (sarei molto molto più giovane ….) non sono un tuo coetaneo. Il mio unico collegamento con le Olimpiadi della Matematica è un mio ex Studente di Fisica molto brillante, ormai prossimo alla laurea. Ho invece collaborato per diversi anni nella preparazione degli Studenti selezionati per le Olimpiadi della Fisica. Ma tu forse hai qualche interesse per le Olimpiadi della Matematica?

  6. chiara scrive:

    No io sono una chimica, ho partecipato a quelle di chimica categoria C lo scorso anno e penso di parteciparci ancora quest’anno

  7. chiara scrive:

    quelle di matematica non sono in grado si sostenerle

  8. Chiara scrive:

    prof Dario, a quando un nuovo problema?

  9. Dario scrive:

    A … gentile richiesta, ti propongo un’ultima (per ora) applicazione del criterio della coerenza dimensionale, per stabilire se esistono delle relazioni dimensionalmente possibili tra grandezze inventate di sana pianta. Ad esempio, tra le grandezze X, Y, Z e W, definite come segue:

    X è un’accelerazione divisa per un tempo^2
    Y è una massa^2 divisa per una lunghezza
    Z è il prodotto di una lunghezza^2 per un tempo
    W è una massa divisa per un’accelerazione

    Ora a te la parola. Ormai questo non dovrebbe più essere un problema per te, anche se contiene una piccola novità, che mi farebbe piacere scoprissi da sola.

  10. Chiara scrive:

    ecco la mia ipotesi! secondo me posso calcolare una portata volumetrica facendo: XYZ/W

  11. Chiara scrive:

    alla fine ottengo il rapporto di una lunghezza^3 diviso un tempo

  12. Dario scrive:

    E quindi non funziona ….

    Si cerca una relazione tra X, Y, Z e W,
    ma SENZA la portata in volume. Ti pare?

    Dai che ce la fai!…

  13. Chiara scrive:

    non ci riesco… insomma mi sto scervellando ma è quella massa^2 ch mi fa diventare matta ho provato anche a vederela come massa*massa per non avere quell’odioso quadrato ma non cambia niente… magari la notte mi porterà consiglio… magari mi viene in mente qualcosa! comunque bello difficilotto!

  14. Dario scrive:

    Eppure il primo problema l’avevi risolto trionfalmente.
    Il “metodo” è sempre lo stesso.
    Ti passo la soluzione, ma in un caso completamente inventato, come questo, ciò che conta è solo che tu sappia come si fa (l’ho spiegato all’inizio e mi pareva che tu avessi capito benissimo ….).

    Comunque la ricerca di una relazione del tipo X = k Y^a Z^b W^c, ove k è una costante adimensionale, conduce a

    X = k Y / W^2
    (quindi X non dipende da Z)

  15. Chiara scrive:

    anche se lo scrivo adesso che ormai l soluzione me l’hai lasciata questa mattina mi era venuto in mente… la piccola novità… insomma c’era qualcosa che non funzionava… eppure se toglievo Z veniva tutto… avevo anche fatto raccoglimenti strani…. e va bhè magari la prossima volta ci riesco (forse)! Grazie comunque! =)

  16. Dario scrive:

    Chiara, ciò che conta è che tu faccia dei progressi. Ho scritto il risultato, perché tu sapessi che comunque una soluzione c’è. Però non ho riportato lo sviluppo dei calcoli. Ti consiglio vivamente di farli.

  17. Chiara scrive:

    si si ci ho provato ed in effetti è tutto chiaro! aspetto ansiosa novità!

  18. Dario scrive:

    Sto preparandomi a inserire Problemi con figure. Ma, nel frattempo, che tipo di novità potrebbe interessarti?

  19. Chiara scrive:

    Buonasera! Ma magari qualcosa che potrebbe essere d’aiuto per il test d’ingresso al politecnico! =)

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