Come “Inventare formule” (Metodo della Coerenza Dimensionale)

Vediamo come si possa scoprire se esistano e, se sì, quali sono, le relazioni “dimensionalmente” (ora vedremo cosa significa) possibili tra grandezze date.
DIMENSIONI delle grandezze, mediante alcuni esempi.

Si dice che: la DENSITA’ VOLUMICA, grandezza definita come rapporto tra una massa ed un volume (nel sistema SI si misura in kg / m^3), ha “dimensioni”

M / L^3 e si scrive M L^(-3);  una FORZA (F = m a) ha dimensioni M L T^(-2);

il LAVORO di una forza (W = F s) ha dimensioni M L^2 T^(-2)
(un’energia cinetica K = 1/2 m v^2 ha le stesse dimensioni …)

Osservazione banale

Quando si scrive v = sqrt(2 g h), per indicare la velocità acquisita, in prossimità della superficie terrestre da un grave, lasciato cadere nel vuoto da fermo per un tratto verticale h, il segno ” = ” si riferisce tanto alla identità numerica, quanto al significato.
Se cioè al primo membro abbiamo una velocità, anche al secondo membro dev’esservi,
anche se in forma non sempre evidente, una velocità.
Da una osservazione così ovvia discende la possibilità, di cui al titolo.
Un esempio semplicissimo
Stabilire se esistono relazioni tra velocità v [L T^(-1)], accelerazione a [L T^(-2)]  e spazio percorso s [ L ], grandezze di cui in parentesi quadre abbiamo indicato le dimensioni.

Cerchiamo una relazione del tipo

v = k a^x s^y,

dove k è una costante priva di dimensioni e x ed y due costanti da determinare.

Perché nei due membri compaiano grandezza dello stesso tipo, è necessario che sia

L M^0 T^(-1) = L^0 T^0 * [ L T^(-2) ]^x * L^y

da cui

L T^(-1) = L^(x + y) T^(-2 x)

e da questa si ottiene subito

1 = x + y
– 1 = – 2 x,

sistema che, risolto, fornisce x = y = 1 / 2.

In conclusione, l’unica relazione dimensionalmente possibile tra v, a ed s è

v = k a^(1/2) s^(1/2) = k sqrt( a s ).

Di questo tipo è la relazione, citata sopra, v = sqrt(2) sqrt(g h) = sqrt(2 g h).
E’ facile rendersi conto che il valore della costante adimensionale k = sqrt(2)
non può essere stabilito per via dimensionale …

Il “metodo” permette di trovare la forma delle relazioni dimensionalmente possibili (se esistono) tra le grandezze, ma, oltre a quello appena citato, relativo alla costante k, ha anche un altro limite: esso può solamente garantire che le relazioni trovate siano corrette dal punto di vista dimensionale.

Da altri punti di vista possono essere del tutto prive di senso.
Inutile dire che le formule in Fisica costituiscono un modo sintetico di enunciare
un ragionamento e che quindi si possono scrivere ed utilizzare solo capendo la Fisica ….

Nel messaggio che seguirà farò un esempio di quali esilaranti fesserie si possano dedurre dal “metodo”, applicato … alla cieca.

Una risposta a Come “Inventare formule” (Metodo della Coerenza Dimensionale)

  1. Dario scrive:

    Prendo spunto da una vecchia pretesa di dedurre gli anni del comandante dalla lunghezza della nave, con qualche modifica.
    Sia Q la quantità di cibo ingerito settimanalmente dal comandante (kg/s);
    siano anche date la velocità massima vmax della nave (m/s) e la pressione sanguigna massima pmax del comandante (N/m^2).
    Desideriamo conoscere la densità volumica d (kg/m^3) della nave.

    Non v’è chi non veda l’assurdità di un simile problema, così il nostro scopo, di sottolineare che ci occupiamo solamente di coerenza dimensionale e non di metodi innovativi di misura delle densità, è raggiunto.

    La procedura indicata nel messaggio iniziale, suggerisce di cercare una relazione del tipo d = k Q^x vmax^y pmax^z.

    Vediamo la corrispondente relazione tra dimensioni:

    M L^(-3) = [ M T^(-1) ]^x * [ M L^(-1) T^(-2) ]^y * [ L T^(-1) ]^z

    Da questa si ottiene il sistema
    x + y = 1
    y – z = – 3
    – x – y – 2z = 0,
    che, risolto, fornisce x = 0, y = – 2, z = 1.

    In conclusione, se vi fosse una logica nel ricercare qualche interdipendenza delle quattro grandezze d, Q, pmax e vmax, l’unica possibilità sarebbe la seguente:

    d = k pmax / vmax^2

    con la precisazione che la densità della nave non dipende da quanto si alimenta il comandante (Q).

Lascia un commento

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato.

Questo sito usa Akismet per ridurre lo spam. Scopri come i tuoi dati vengono elaborati.