Scomporre in fattori il polinomio x^4 + 4
Con questo … esercizietto ho visto qualche Insegnante in difficoltà.
Scomporre in fattori il polinomio x^4 + 4
Con questo … esercizietto ho visto qualche Insegnante in difficoltà.
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Interessante ma non ne vengo a capo! Pensavo fosse irriducibile ma poi ho visto la soluzione, spero in un contributo illuminante…
Si può scomporre questa somma di due quadrati anche non ricorrendo al campo dei numeri immaginari.
1) x^4 + 4 possiamo scriverlo come (x^2)^2 + 2^2
Aggiungendo e sottraendo il doppio prodotto delle due basi,
viene
2) (x^2)^2 + 2^2 + 2x^2 – 2x^2
Raccogliamo:
3) (x^2 + 2) – 2x^2
E questo è una differenza di quadrati che
è uguale alla somma delle basi per la loro differenza, cioè
4) [x^2 + 2 + (RADQ2)x][x^2 + 2 – (RADQ2)x]
Naturalmente questa scomposizione potrebbe andar avanti per procedimenti simili ed è possibile se aggiungendo e sottraendo il doppio prodotto, quest’ultimo è un quadrato. Ovviamente anche 2 è il quadrato di RADQ2.
Ragionandoci mi è tornato qualcosa in mente! 😛
Questo procedimento dovrebbe essere valido solo se il prodotto delle basi è maggiore od uguale a zero..no?
Ciao a tutti, scusate il non doppio, ma …triplo post! 🙂
Torno da scuola e perciò sono ancora un po’ preso da quadrati che tagliati diventano triangoli equilateri e roba simile 😛
Ritiro quel che ho detto visto che in questo caso il prodotto delle basi è sempre positivo: x^2 * 2 = 2x^2
Scusate ancora per il triplo post 🙂
( Sei scusato ) * 2. Anche per via dell’ottima risposta.
Axel, la spiegazione ti ha convinto? Sei in grado di proporlo ad altri?
Prima o poi arriveranno altre fattorizzazioni.
A presto.
No, mi dispiace ma la spiegazione non mi convince.
Il risultato al punto 4) è [x^2 + 2 + sqrt(2) * x] [x^2 + 2 – sqrt(2) * x] che è diverso da x^4 + 4. Non capisco!!
Ciao Axel. Hai ragione di non capire. La fattorizzazione è la seguente.
x^4 + 4 = (x^2 + 2 + 2 x)*(x^2 + 2 – 2 x)
Ci si arriva facilmente aggiungendo e togliendo 4 x^2 a x^4 + 4.
Quando ho visto Nicolò che aggiungeva e toglieva … ho immaginato che sapesse cosa doveva fare. E resto convinto che Nicolò lo sapesse benissimo, ma l’ha fatto scrivendo 2 invece di 4.
Il tuo contributo è stato importante. Grazie.
Ciao Dario ed Alex,
Chiedo venia per la mia distrazione, benedetta fretta!
🙂
PS: Dario ho inviato l’email 🙂
Grazie a voi, ora mi è tutto più chiaro.
Ciao a tutti,
questo è uno dei problemi più simpatici e costruttivi che ci siano. Quando lo risolsi anni fa avevo alla base un pò di matematica che mi permise la facile risoluzione. In primis ogni polinomio di grado maggiore di due è riducibile nei reali, per cui un polinomio di grado 4 si potrà scrivere o come prodotto di 4 polinomi di primo grado (nel caso avessimo 4 radici reali) o come prodotto 2 polinomi di primo grado e uno di secondo grado oppure come 2 polinomi di secondo grado.
Poi, per risolvere l’esercizio, passai nel campo complesso dove ogni polinomio di grado maggiore di 1 è riducibile e trovai la forma desiderata nel campo dei reali.
Chiaramente la risoluzione è più complicata, ma ci si diverte un pò :).
Un saluto a tutti, in particolare a Dario!
Ciao Alessandro. Stavo per dire “e tu, amico, da dove esci? …”. Ma poi ti ho riconosciuto, per la bravura e per la sensibilità riguardo al problema della riducibilità dei polinomi di grado superiore al secondo. I tuoi interventi sono sempre apprezzati. Anche qualche bella domandina per il Blog, se l’hai.
Cordiali saluti anche a te!
Caro collega, è davvero un ottimo lavoro, complimenti!