Teorema di Gauss 01

In una sfera non conduttrice, di centro O e raggio R, esiste una cavità sferica, di raggio R/2 e centro distante R/2 da O (le due superfici sferiche sono quindi tangenti in un punto). Nel volume sferico, ad eccezione di quello occupato dalla cavità, è distribuita uniformemente una carica elettrica con densità volumica rho. Stabilire come varia il campo elettrico E all’interno della cavità nei punti del suo diametro passante per O.

2 risposte a Teorema di Gauss 01

  1. Darkness1993 scrive:

    Allora nonnod ho esaminato questo problema perchè mi sembra veramente interessante…spero di aver trovato la soluzione corretta:
    Allora io posso considerare come se nella cavità sferica ci fossero cariche positive e negative che si controbilanciano, per cui il campo vettoriale in un punto P qualsiasi sarà derivato dalla somma dei contributi delle cariche (+) e (-), che sono distribuite con simmetria sferica.
    Il teorema di Gauss afferma che (integrale)(Eint * dS) = Qint / e0
    (NB: e0 costante dielettrica nel vuoto, Qint carica totale contenuta all’interno della sfera e passante per il centro, dS carica infinitesima) e considerata la simmetria sferica anche del campo elettrico, sarà costante in ogni punto di una superficie sferica e dipende solo dal raggio (Eint * 4*pi*r^2 = Qint/e0)
    Qint è legato alla densità di carica volumetrica da Qint = (4/3)* rho * r^3, da cui ricavi sostituendo sopra che Eint(vettore) = [(rho) / (3 e0)] * r(vettore) che vale sia per la distribuzione della carica positiva che di quella negativa.
    La somma dei contributi dei due campi, ponendo p(vettore cariche(+)) e n(vettore cariche(n)): E = Eint(Qp) + Eint(Qn) = [(rho) / (3 e0)] * (p – n)(vettori) quindi il campo elettrico all’interno della cavità è costante, visto che la differenza dei vettori vale r(vettore)!
    Spero che il ragionamento sia giusto, mi dispiace che mancano i simboli adatti allo scopo! Mi faccia sapere se c’è qualche errore, il problema è interessante…

  2. Darkness1993 scrive:

    Mi sono dimenticato di scrivere che la distribuzione delle cariche positive ha centro nel raggio della sfera, mentre quella delle negative nel centro della cavità(anche se sono nello stesso numero)! Quindi il vettore p è applicato nel centro della sfera ovviamente, quello n nel centro della cavità…la differenza dei vettori in qualsiasi punto è il vettore r(raggio della cavità, altra cosa che mi sono scordato, mannaggia a me!)
    Dettaglio importante, ho preferito aggiungerlo visto che mi sono dimenticato di scriverlo…spero che si capisca il problema, purtroppo avevo fretta e non ho badato a scriverlo nel migliore dei modi! Ci vorrebbe un bel disegno:)

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