Probabilità 02

Si supponga di trovarsi di fronte a tre porte chiuse. Si sa che dietro due di queste vi è una capra e dietro la terza un’automobile.
Il concorrente vince ciò che si trova dietro la porta da lui indicata.
Il gioco si svolge SEMPRE come segue.
Il concorrente sceglie una delle tre porte. Il conduttore del gioco NON apre la porta prescelta, ma una delle altre due
e mostra che, dietro di essa vi è una capra.
A questo punto chiede al concorrente se desidera modificare la sua scelta iniziale.
Voi cosa fareste? Può esserci un vantaggio nel cambiamento di scelta?
[un precedente quesito sul Calcolo delle Probabilità è stato pubblicato il 3 Gennaio 2011]

8 risposte a Probabilità 02

  1. Axel scrive:

    Salve nonnod!
    Avevo già sentito o letto di questo problema non so dove.
    All’inizio il concorrente ha una possibilità su tre di vincere l’automobile perché non sa cosa ci sia dietro le porte.
    Quando sceglie una porta, ci sono due possibilità su tre che dietro le due porte non scelte ci sia l’auto e quando il conduttore apre una delle due porte non scelte mostrando una capra, la probabilità che ci sia l’auto dietro quella rimanente sale a due terzi, contro 1/3 della prima scelta.
    Quindi al giocatore conviene cambiare scelta visto che la probabilità di vincere raddoppia (passa da 1/3 a 2/3).

  2. Dario scrive:

    Ciao Axel. Il problema è molto noto. Pare che compaia in un film e che addirittura sia stato scritto un libro su di esso.
    Una delle fonti, non so se la prima, credo sia stato un gioco a premi di una televisione americana.
    Naturalmente per ora non commento le tue conclusioni, in modo da permettere ad altri di intervenire. Però vorrei capire meglio il tuo ragionamento.
    Puoi chiarire meglio, per favore, il motivo per cui “quando il conduttore apre una delle due porte non scelte mostrando una capra, la probabilità che ci sia l’auto dietro quella rimanente sale a due terzi” ? Grazie.

  3. Axel scrive:

    Cerco di chiarire il passaggio.
    La probabilità di trovare l’auto dietro una delle due porte non scelte è pari a un terzo ciascuna; aprendo una porta contenente una capra la probabilità diventa nulla quindi la probabilità che aveva passa a quella non aperta e non scelta, facendola aumentare a due terzi.

  4. Dario scrive:

    Dovrei porti qualche altra domanda, ma preferisco dare anche ad altri la possibilità di intervenire. Attendiamo qualche giorno?

  5. Emanuele scrive:

    E’ meglio cambiare!

    Scelgo la porta con la capra 1, il conduttore apre la porta con la capra 2, quindi l’auto è nella porta restante;

    scelgo la porta con la capra 2, il conduttore apre la porta con la capra 1, quindi l’auto è nella porta restante;

    scelgo la porta con l’auto, il conduttore apre la porta con la capra 1 o 2, l’altra capra è dietro la porta restante.

    Da ciò si evince che, col cambio finale della porta, ho i 2/3 di probabilità di vincere l’auto, ovvero il 66%, mentre scartata la prima capra e mantenendo la scelta fino alla fine la mia probabilità di vittorie scende al 50% poichè o c’è una capra o c’è l’auto.

  6. Alessandro Attanasio scrive:

    Ciao,
    io lo risolverei in questo modo. All’inizio ho tre porte A, B e C e la probabilità che ci sia l’auto dietro una di esse è 1/3: quindi

    P(A) = P(B) = P(C) = 1/3

    Quando Monty decide di aprire volutamente una porta con la capra, ho un’informazione aggiuntiva e le cose cambiano. Suppongo di aver scelto la porta A e che Monty apra la porta B, quindi devo calcolare

    P(A | Monty apre B)

    In particolare

    P(A | Monty apre B) = P(A “e” Monty apre B) / P(Monty apre B)

    Lavoro sul numeratore: se il premio è in A per Monty è indifferente aprire la porta B o C, quindi

    P(A “e” Monty apre B) = P(A) * P(Monty apre B|A) = 1/3 * 1/2 = 1/6

    Lavoro sul denominatore: in particolare

    P(Monty apre B) = P(A “e” Monty apre B) + P(B “e” Monty apre B) + P(C “e” Monty apre B)

    La prima probabilità l’ho già calcolata e vale 1/6. La seconda è zero perché Monty non aprirà mai la porta B se l’auto è in B. La terza è 1/3 in quanto Monty aprirà sicuramente B se il premio è in C, cioè

    P(C “e” Monty apre B) = P(C) * P(Monty apre B | C) = 1/3 * 1 = 1/3

    In conclusione il denominatore è

    P(Monty apre B) = 1/6 + 0 + 1/3 = 1/2

    per cui la probabilità che il premio sia in A dopo che Monty apre la porta B è

    P(A “e” Monty apre B) = (1/6) / (1/2) = 1/3

    Analogamente

    P(C “e” Monty apre B) = 2/3

    quindi conviene cambiare porta affinché le probabilità di vittoria aumentino. E’ stato proprio divertente, era un pò di tempo che non mi divertivo con la probabilità.

  7. Dario Teodoro scrive:

    Ciao Alessandro. In effetti è un problemino molto divertente e questo mi sembra un buon motivo per farne un cenno agli studenti. Che te ne pare? Senza perdere tempo …. Tu fai la domanda, ma poi continui col tuo programma normale, naturalmente. Ne riparliamo.

  8. Alessandro Attanasio scrive:

    Ciao Dario, direi di sì :). In alcune classi lo trattai qualche tempo fa, senza però entrare nella dimostrazione specifica in quanto non hanno fatto probabilità. Ora metto la comunicazione su fb.

Lascia un commento

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato.

Questo sito usa Akismet per ridurre lo spam. Scopri come i tuoi dati vengono elaborati.